平衡树——Treap&Splay
平衡树学习总结 2016-12-29
概述
朴素的BST有时会退化成一条链，从而使二分查找的效率大大降低，为了防止这种情况的发生,平衡树应运而生。
顾名思义，平衡树的各个子树的深度应该相等或者相似。
两种基本操作：左旋&右旋 zig()&zag()
保证平衡树仍然满足BST的性质，但能够调换节点在树中的相对位置。
其余操作： insert(),delete(),findKth(),findRank(),precursor()//pre(),successor()//suc()
两种常用的平衡树：
1. Treap =Tree+heap
靠随机化减小退化的概率。
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| struct node
{
int v,fix,l,r,weight,size;
node()
{
v=fix=l=r=weight=size=0;
}
}treap[100005];
|
插入：
插入时由随机数决定改变该节点的位置。
我们使用fix存放随机数，且Treap中fix应满足堆的性质（小根堆或大根堆，但在代码中要保证一致）。因此在按照BST的插入方法插入完毕后，fix=Rand();再通过左右旋使其满足堆。
删除：
与BST类似，但删去节点后要判断其子节点fix是否满足堆的性质，逐层修改。
其余操作与BST基本相同。
另外大部分操作函数的参数最好使用传引用的方式（int& k），减少手动修改。
完整代码：（需保证各种操作的元素一定已经在树内）
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| #include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
struct node
{
int v,fix,l,r,weight,size;
node()
{
v=fix=l=r=weight=size=0;
}
inline int lsize();
inline int rsize();
}tree[100005];
int& start=tree[0].r;//存放树的虚拟根
#define now tree[k]//在各种操作中简化代码
#define son tree[y]
int amount=0;
inline int node::lsize()
{
if(l==0)return 0;
else return tree[l].size;
}
inline int node::rsize()
{
if(r==0)return 0;
else return tree[r].size;
}
inline node& left(node k)
{
return tree[k.l];
}
inline node& right(node k)
{
return tree[k.r];
}
inline bool isLeave(node k)//判断叶子节点
{
return (bool)k.l==0&&k.r==0;
}
inline void rt(int& k)
{
int y=now.l;
now.l=son.r;//swap the subtree
son.r=k;
k=y;
y=now.r;//needless if not use size but important
son.size=son.lsize()+son.rsize()+son.weight;
now.size=now.lsize()+now.rsize()+now.weight;
}
inline void lt(int& k)
{
int y=now.r;
now.r=son.l;//swap the subtree
son.l=k;
k=y;
y=now.l;
son.size=son.lsize()+son.rsize()+son.weight;
now.size=now.lsize()+now.rsize()+now.weight;
}
inline void insert(int& k,int key)
{
if(k==0)//新建
{
k=++amount;
now.v=key;
now.fix=rand();
now.l=now.r=0;
now.weight=1;
now.size=1;
}
else
{
if(key<now.v)
{
++now.size;//先加后递归
insert(now.l,key);
if(now.fix<left(now).fix)
{
rt(k);
}
}
else if(key>now.v)
{
++now.size;
insert(now.r,key);
if(now.fix<right(now).fix)
{
lt(k);
}
}
else //key==now.v
{
++now.size;//勿忘
++now.weight;
}
}
}
inline void remove(int &k,int key)
{
if(k==0)return;
if(now.v!=key)
{
if(now.l!=0&&key<now.v)
{
remove(now.l,key);
--now.size; //先递归再减
}
else if(now.r!=0&&key>now.v)
{
remove(now.r,key);
--now.size;
}
return;
}
if(now.weight>1)
{
--now.weight;
--now.size;// don't forget this one
return ;
}
if(isLeave(now))
{
k=0;
return;
}
else if(now.l==0)
{
k=now.r;
return;
}
else if(now.r==0)
{
k=now.l;
return;
}
else
{
if(left(now).fix<right(now).fix)
{
lt(k);
remove(now.l,key);
--now.size;
}
else
{
rt(k);
remove(now.r,key);
--now.size;
}
}
}
int MAX,MIN;//供pre()&suc()使用
inline int pre(int k,int key)
{
if(k==0)return MAX;
if(now.v<key)
{
MAX=now.v;
pre(now.r,key);
}
else
{
pre(now.l,key);
}
return MAX;
}
inline int suc(int k,int key)
{
if(k==0)return MIN;
if(now.v>key)
{
MIN=now.v;
suc(now.l,key);
}
else
{
suc(now.r,key);
}
return MIN;
}
inline int findkth(int k,int key)
{
if(key<now.lsize()+1)
{
return findkth(now.l,key);
}
else if(key>now.lsize()+now.weight)
{
return findkth(now.r,key-now.lsize()-now.weight);
}
else return now.v;
}
inline int findrank(int k,int key,int cur=0)
{
if(now.v==key)
{
return now.lsize()+cur+1;
}
else if(key<now.v)
{
return findrank(now.l,key,cur);
}
else if(key>now.v)
{
return findrank(now.r,key,cur+now.lsize()+now.weight);
}
}
void midq(int &k)//中序遍历输出
{
if(k==-1)return;
if(now.l!=0)
{
midq(now.l);
}
for(int i=1;i<=now.weight;++i)printf("%d ",now.v);
if(now.r!=0)
{
midq(now.r);
}
}
inline void init()
{
srand(time(NULL));
}
int main()
{
int n,opt,x;
init();
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&opt,&x);
switch (opt)
{
case 1:insert(start,x);break;
case 2:remove(start,x);break;
case 3:printf("%d\n",findrank(start,x));break;
case 4:printf("%d\n",findkth(start,x));break;
case 5:printf("%d\n",pre(start,x));break;
case 6:printf("%d\n",suc(start,x));break;
}
//printf("\t");midq(start);printf("\n");
}
return 0;
}
|
2. Splay（伸展树）
又名自调整二叉树，在每次操作时将目标节点旋到根。
可以实现区间操作（例如区间翻转）。
在Splay中，满足BST性质的是节点对应在数组（不是存树的数组）中的下标，因此需要一个变量存放之。
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| struct Splay
{
int root;
int f[maxn],c[maxn][2];
#define lc(i) (c[i][0])
#define rc(i) (c[i][1])
int size[maxn];
};
|
基本操作：Splay() 伸展
将将目标节点旋到根。为了提高效率我们使用双旋，即一次判断两层的情况。
区间操作：
可以借鉴线段树中的lazy-tag思想，在使用到子节点时下放tag，减少冗余操作。对于翻转的父节点，需要重新计算在数组中的下标值。
另外Splay因为使用双旋，所以在节点中的各种操作需要用到节点的father，因此各种操作函数的参数最好不要使用传引用（还是手动改比较靠谱）。
左右旋与Treap有些许区别：
Treap的zig(k)是将k的左节点旋上来，而Splay的zig(k)是把k旋到它的父节点（k是k.father的左子树）。
Splay的旋转操作需要修改f值。
完整代码：~~（因为传的引用至今未调试成功，计划重构）~~已重构√
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| /*
luogu3391
splay
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
template<typename T>
void read(T& w)
{
char r;int f=1;
for(r=getchar();(r!='-')&&(r<48||r>57);r=getchar());
if(r=='-')f=-1,r=getchar();
for(w=0;r>=48&&r<=57;r=getchar())w=w*10+r-48;
w*=f;
}
template<typename T>
void write(T w,char c=0)
{
if(w<0)putchar('-'),w=-w;
if(w>9)write(w/10);
putchar(char(w%10+48));
if(c)putchar(c);
}
const int maxn=100003;
//Splay
int n,m;
struct Splay
{
int root;
int f[maxn],c[maxn][2];
#define lc(i) (c[i][0])
#define rc(i) (c[i][1])
int size[maxn];
bool rev[maxn];
void update(int x)
{
size[x]=size[lc(x)]+size[rc(x)]+1;
}
void tagdown(int x)
{
if(rev[x])
{
swap(lc(x),rc(x));
rev[lc(x)]^=1,rev[rc(x)]^=1;
rev[x]=0;
}
}
void rotate(int x,int& k)
{
int y=f[x],z=f[y],d;
if(x==lc(y)) d=1;
else d=0;
if(y==k)k=x;
else
{
if(y==lc(z)) lc(z)=x;
else rc(z)=x;
}
f[x]=z,f[y]=x,f[c[x][d]]=y;
c[y][d^1]=c[x][d],c[x][d]=y;
update(y),update(x);
}
void splay(int x,int& k)
{
while(x!=k)
{
int y=f[x],z=f[y];
if(y!=k)
{
if(x==lc(y) ^ y==lc(z))
rotate(x,k);
else rotate(y,k);
}
rotate(x,k);
}
}
int find(int x,int rank)
{
tagdown(x);
if(size[lc(x)]+1==rank)return x;
if(rank<=size[lc(x)])
return find(lc(x),rank);
return find(rc(x),rank-size[lc(x)]-1);
}
void rever(int l,int r)
{
int x=find(root,l),y=find(root,r+2);
splay(x,root),splay(y,rc(x));
rev[lc(y)]^=1;
}
void build(int l,int r,int fa)
{
int k;
if(l==r)
size[k=l]=1;
else
{
k=(l+r)/2;
if(l<=k-1)build(l,k-1,k);
if(k+1<=r)build(k+1,r,k);
update(k);
}
f[k]=fa;
if(k<fa)lc(fa)=k;
else rc(fa)=k;
}
void init()
{
build(1,n+2,0);
root=(n+3)/2;
}
}splay;
void output();
void solve()
{
splay.init();
for(int i=1,l,r;i<=m;++i)
{
read(l),read(r);
splay.rever(l,r);
//output();
}
}
void output()
{
for(int i=2;i<=n+1;++i)
write(splay.find(splay.root,i)-1,i==n+1?'\n':' ');
}
int main()
{
freopen("luogu3391#1.in","r",stdin);
//freopen("luogu3391.out","w",stdout);
read(n),read(m);
solve();
output();
return 0;
}
|
参考
%%%黄学长的Splay模板
